Роман Качанов родился в 1921 году в Смоленске. Мать — Хая Яковлевна Качанова, отец — Абель Менделевич Качанов, сапожник. Мать Романа умерла в 1932 году, когда ему было одиннадцать лет.
Весной 1939 года Роман Качанов был призван на срочную службу в ряды Красной Армии. Он попал в лётное училище в Красноярск. Он летал на истребителях — стрелком-радистом (вторым пилотом).
В 1940 году самолёт, на котором летал Качанов, потерпел аварию. Первый пилот погиб, а Качанов оказался в госпитале с тяжелым ранением. Командование вызвало попрощаться с Качановым отца — Абеля Менделевича — и единственную сестру (старшую) — Марию. Больше они не встречались. Отец и сестра погибли в Смоленске во время немецкой оккупации.
Весной 1941 года Качанов поступил в Московский институт инженеров транспорта (МИИТ).
В начале войны был призван в Красную армию в воздушно-десантные войска в часть расквартированную в городе Чкаловский под Москвой.
Во период с 1941 по 1945 год. Служил в ВДВ.
Был инструктором парашютно-десантной службы. Принимал участие в специальных операциях в тылу врага. В 1945 году войну окончил старшим сержантом.
Еще до демобилизации в 1946 решил работать в кино. Перевелся на службу на киностудию Министерства обороны в Болшево.
После демобилизации пришел на «Союзмультфильм» . Поступил на курсы художников-мультипликаторов при киностудии «Союзмультфильм» и окончил их в том же 1946 году.
С 1947 по 1957 год работал художником-мультипликатором и ассистентом режиссёра у Дмитрия Бабиченко, Валентины и Зинаиды Брумберг, Льва Атаманова, Ивана Иванова-Вано.
В 1958 году Качанов совместно с А. Карановичем сделал как режиссёр свой первый фильм — «Старик и журавль», в 1959 году с тем же сорежиссёром — тонкую поэтическую картину по сценарию Назыма Хикмета «Влюблённое облако», получившую призы на фестивалях в Аннеси, Оберхауэене и Бухаресте. Ассистентская работа отошла в прошлое и режиссёрская на этих двух фильмах дали ему большой профессиональный опыт, и в дальнейшем он переключился, в основном, на режиссуру.
Его творчество оказало влияние на отечественную и зарубежную кукольную (объемную) мультипликацию. Его учениками считали себя Кихачиро Кавамото (Япония), Моника Краузе (ГДР), Юрий Норштейн (СССР) и другие.