Родился 8 июля 1905 года в Москве. В 1925 году поступил в Государственный техникум кинематографии (сейчас — ВГИК), окончил его в 1928 году с дипломом художника-декоратора. C 1926 года работал на киностудии «Межрабпом-Русь» сначала помощником декоратора, затем — мультипликатором. Вскоре после окончания обучения поступает на работу художником-мультипликатором на киностудию «Госвоенкино» (вставки в комбинированную картину Юрия Меркулова «Первая Конная»).
В начале 1930-х Амальрик переходит на киностудию «Межрабпомфильм». В рисованноим фильме «Блэк энд уайт» (1932) был впервые упомянут в титрах как режиссёр и художник (наравне с И. П. Ивановым-Вано). К середине 1930-х становится самым известным мультипликатором Москвы.
В 1936 г. перешёл на новообразованную киностудию «Союзмультфильм». Вначале работал в жанре политической сатиры, затем вместе в Владимиром Полковниковым увлёкся современной сказкой. В 1939 году ставится один из первых удачных цветных анимационных фильмов «Лимпопо».
Несмотря на эвакуацию части «Союзмультфильма» в Самарканд, Амальрик остаётся в Москве, где выступает одним из инициаторов съёмок мультипликационного сатирического плаката «Кино-цирк» (1942). На студии «Воентехфильм» работает над инструктивными мультипликационными картинами: например, «Немецкая оборона и ее преодоление».
Первым самостоятельным фильмом стал снятый в 1954 г. фильм «Стрела улетает в сказку». Всеобщую известность Амальрику приносят фильм-опера «Кошкин дом» (1958) по пьесе С. Я. Маршака, экранизация сказки Андерсена «Дюймовочка» (1964), фильм «Про бегемота, который боялся прививок» по сказке Милоша Мацоурека.
После создания фильма «Терем-теремок» в 1971 г. прекратил работу в кино.
Жена Леонида Алексеевича художник Надежда Михайловна Привалова работала вместе с мужем над многими его мультфильмами.